統計の基礎

放射線・宇宙線の測定で出てくる数字は、必ずゆらいでいます。統計は、そのゆらぎと付き合うための道具です。

検出器を同じ場所に置いて、同じ時間だけ2回測ってみてください。カウント数はまず一致しません。 1回目が1023カウント、2回目が987カウント——どちらかが「失敗」なのではなく、 放射線や宇宙線がいつ来るかが完全にランダムである以上、これは避けられない自然なゆらぎです。

ここで困った問題が起きます。たとえば校舎の3階と1階で宇宙線のレートを測って、1割違ったとしましょう。 それは「コンクリートの遮蔽による本当の差」でしょうか？　それとも「たまたまそう出ただけの偶然のゆらぎ」でしょうか？ この区別ができないと、測定からは何も結論できません。

うれしいことに、このゆらぎの大きさは理論的に予言できます。Nカウント数えたときのゆらぎはおよそ±√N。 この一つの式から、エラーバーの引き方、「差がある」と言える条件、必要な測定時間の見積もりまで、芋づる式に導けます。 この講座では、その道筋を順番にたどっていきます。

読むだけでは身につかないので、5つの実習を挟んであります

統計は、読んで分かった気になるのがいちばん危ない分野です。この講座には、章のあいだに ブラウザの中で動く実習が5つ入っています。 読んだ内容をその場で手を動かして確かめられるように、対応する章のすぐ後ろに置いてあります。 インストールも登録も要りません。

統計の第一歩は、数字の列を絵にすることです。

検出器から出てくるのは、何千行もの数値データです。眺めているだけでは何も見えてきません。 そこで、値をビンヒストグラムの横軸を等間隔に区切った「区間」のこと。ビンの幅を変えると見え方も変わる。と呼ばれる区間に区切り、 各区間に入ったデータの個数（度数）を棒の高さで表します。これがヒストグラムです。

ヒストグラムにすると、データの「ばらつきの形」が一目で見えます。 図2-1は検出器のADC値粒子が検出器に落としたエネルギーを数値に変換したもの。値が大きいほど高エネルギー。のヒストグラムの例です。 山が2つあること、つまりデータの中に性質の違う2種類の粒子（γ線・β線と宇宙線ミュオン）が混ざっていることが、絵にして初めてわかります。 山の境目のADC値を調べておけば、「宇宙線だけを数える」「γ線・β線だけを数える」という選別もできるようになります。

このように、測定値は1つの決まった数ではなく、ある形をもって散らばります。この散らばりの形を分布と呼びます。 分布を特徴づけるのは、おもに山の位置（代表値）と山の幅（ばらつきの大きさ）。 次の章で、これらを数で表す方法を見ていきましょう。

分布の「位置」と「幅」を数で表す、統計のいちばん基本的な道具です。

N個の測定値 $x_1, x_2, \dots, x_N$ があるとき、分布の中心を表す代表値が平均です。

次に、データが平均のまわりにどれくらい散らばっているかを表すのが標準偏差です。 各データと平均との差（偏差）を2乗して平均し、平方根をとります。^[1]

そしてもう一つ、混同しやすいけれど大切なのが標準誤差。 「データ1個1個のばらつき」ではなく、「平均値そのものがどれくらい信用できるか」を表す量で、標準偏差を√Nで割ったものです。

この講座の心臓部です。「Nカウント数えたら誤差は±√N」——この魔法のような事実は、ポアソン分布から出てきます。

放射線の崩壊や宇宙線の到来のように、一つひとつがランダムに、互いに無関係に起きる現象を考えます。 平均すると時間あたりλ回起きる現象が、実際にk回起きる確率は、ポアソン分布で表されます。^[2]

ポアソン分布には、きわだった性質があります。分布の幅（標準偏差）が、平均の平方根になるのです。

つまり、実際に測ったカウント数Nがあれば、その1回の測定だけで誤差±√Nがわかってしまう。 何度も繰り返し測ってばらつきを調べなくても、エラーバーが引けるのです。 100カウントなら100±10、10,000カウントなら10,000±100です。

レートの誤差と相対誤差

実験で比べたいのは、ふつうカウント数そのものではなくレート（単位時間あたりのカウント数）です。 時間tの測定でNカウント得たときのレートとその誤差は、Nの誤差±√Nをそのままtで割って求めます。

たとえば600秒で480カウントなら、レートは 480÷600 = 0.80 cnt/s、誤差は √480÷600 ≒ 0.04 cnt/s。 報告するときは 0.80 ± 0.04 cnt/s と書きます。

もう一つ重要なのが相対誤差（誤差が測定値の何%か）です。誤差√Nを測定値Nで割ると——

相対誤差は1/√Nでしか小さくなりません。「長く測るほど正確になる。ただし精度1桁の改善には時間100倍が要る」—— これが計数実験の宿命であり、測定計画（7章）の出発点になります。

カウントが増えると、ポアソン分布は左右対称の美しい釣り鐘型——ガウス分布（正規分布）に近づきます。

μが山の中心（平均）、σが山の幅（標準偏差）です。 図5-1のように、λ=20程度でもポアソン分布はすでにガウス分布とほぼ重なります。

ガウス分布が「ばらつきの王様」と呼ばれるのは、ポアソン分布の極限だからというだけではありません。 たくさんの小さなゆらぎの足し合わせは、元のゆらぎの形によらずガウス分布に近づく—— これは中心極限定理独立なランダム変数をたくさん足し合わせた量の分布は、個々の分布の形によらず、ガウス分布に近づくという定理。と呼ばれる、統計学でもっとも有名な定理のひとつです。 測定の誤差は無数の小さな要因の積み重ねなので、多くの場合ガウス分布でうまく近似できるのです。

68–95–99.7 ルール

ガウス分布には、覚えておくと一生使える数字があります。 測定値が平均±1σ、±2σ、±3σの範囲に入る確率です。^[1]

「±1σの外に出る」ことは3回に1回起きるありふれた出来事ですが、「±3σの外」はめったに起きません。 この感覚が、次章の「差があるかどうか」の判断にそのままつながります。

2つの測定値を比べるとき、「差が大きいか」ではなく「差がエラーバーの何倍か」を見ます。それがz値です。

条件Aの測定値 $N_1 \pm \sigma_1$ と条件Bの測定値 $N_2 \pm \sigma_2$ を比べましょう。 まず必要なのは、差そのものの誤差です。それぞれ独立にゆらぐ2つの値の差の誤差は、 各誤差の2乗を足して平方根をとったものになります（誤差の伝播）。^[1]

そして、実際の差がこの誤差の何倍あるかを表すのがz値です。

z値の解釈は、前章の68–95–99.7ルールがそのまま使えます。差がないのに偶然 z≧2 となる確率は約5%、z≧3 となる確率は0.3%しかありません。^[3]

ここには目の並びが普通じゃないサイコロが2つあります。たとえば 1,2,3,4,5,6 ではなく 1,2,2,3,4,5 のように。 大きい数字を出すうえで、A と B のどちらが「得」でしょうか？

中身は伏せてあります。分かるのは、振って出た目だけ。 10回振ると、たいてい「こっちが得そう」と思えてきます。でも、まだ結論を出さないでください。 それが偶然かどうかを決めるのは、差の大きさではなく z ＝ 差 ÷ 差の誤差 です。

判定バッジの4段階（z≲1／1≲z≲2／z≳2／z≳3）は、講座 06章の目安の表とまったく同じ言葉です。迷ったら戻って読み直してください。

「何分測ればいい？」の答えは、欲しい精度が決めます。測ってから困るのではなく、測る前に見積もりましょう。

4章で見たとおり、相対誤差は $1/\sqrt{N}$ です。これを逆に解くと、目標の相対誤差 $r$ に必要なカウント数と測定時間が出てきます。

手順は3ステップです。

「何回振ればいいですか」——実習で必ず出る質問です。答えは 「知りたい差の大きさによる」。式にすると、こうなります。 これは講座 07章「測定計画」でやった逆算そのもので、 カウント数の代わりにサイコロを振る回数を求めているだけです。

$\Delta$ は本当の平均の差、$\sigma$ はそれぞれのばらつき、$z_c$ は「差がある」と言いたいライン（ふつう2）。 分母に $\Delta^{2}$ があるのがポイントで、見つけたい差が半分になると、必要な回数は4倍になります。 小さな差を捕まえるのは、想像よりずっと大変です。

±√Nで表せるのは誤差の半分だけ。もう半分の系統誤差は、長く測っても消えません。

ここまで扱ってきた±√Nのゆらぎは統計誤差と呼ばれ、測定時間を延ばせばいくらでも小さくできます。 いっぽう、測定条件そのものの偏りからくるズレは系統誤差（系統的な不確かさ）と呼ばれ、 いくら長く測っても小さくなりません。

検出器のカウント測定で出会う系統誤差の代表例です。

±の書き方と有効数字

測定結果を報告するときは、値±誤差に単位を付けて書きます。^[4] このとき有効数字は誤差に合わせるのがルールです。

「一緒に変化する」ことと「一方が他方を引き起こす」ことは、まったく別の話です。

長期間の測定では、計数率をいろいろな量と比べたくなります。たとえば「気温が高い日はレートが高い」—— 散布図を描くときれいな相関（一緒に変化する関係）が見えたとしましょう。 ここで「気温が宇宙線を増やしている」と書いてしまうのは早合点です。

相関が見えたとき、可能性は1つではありません。 A（気温）がB（計数率）の原因かもしれないし、その逆かもしれない。 そして見落としがちなのが、交絡因子注目している2つの量の両方に影響を与える「第3の要因」。これがあると、直接の因果がなくても相関が生まれる。—— 両方に影響する第3の要因の存在です。 宇宙線の例では、気圧（頭上の大気の量）はレートを直接変えますし、検出器自体の温度特性（8章）も「気温との相関」を作り出します。 夏は気温も高く、大気の状態も検出器の温度も違う——どれが効いているかは、散布図1枚では決められないのです。

課題2でやることは、実は課題1とまったく同じです。2つのグループの平均を比べて、その差が誤差より十分大きいかを見る。 違うのは、サイコロの代わりに自分たちで集めたデータを使うことだけ。

ここには架空のクラス調査データが入っています。実物のスプレッドシートと同じように、 群を分ける列と測る量を自分で選んで、仮説を立てて、検定してみてください。 仮説は「A は B より〇〇である」という形で、数字で確かめられるように書きます。

「帰無仮説を棄却する」——言葉は難しいけれど、やっていることは単純です。 「もし差がない世界だったら、どれくらいの差がふつうに出るのか」を作ってみて、 自分のデータがそこからはみ出しているかを見る。それだけです。

差がない世界は、簡単に作れます。グループのラベルをぐちゃぐちゃに混ぜてしまえばいい。 ラベルが無意味になったデータで差を計算する。それを何百回もくり返せば、 「差がない世界で起きる差」の分布ができあがります。

提出物は、この画面のスクリーンショットではなく自分のスプレッドシートです。 ここで確かめたことを、実物のシートで再現してください。この実習は答え合わせに使えます。

この講座の内容をより深く学ぶための定番書・資料です。